\documentclass[12pt]{beamer}

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\setsansfont{WenQuanYi Zen Hei}

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\title{第四章 特征值估计}
\author[]{曹金}

\institute{National Key Laboratory of Science and Technology on Communications at UESTC}
%\titlegraphic{\includegraphics[width=20mm]{USTL}}

\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{主要内容}
  \tableofcontents
\end{frame}


\section{特征值界的估计}

\begin{frame}
  \frametitle{求特征值} \pause
  \begin{block}{}
    矩阵$A = \left(
      \begin{array}{cc}
        a & b \\
        c & c \\
      \end{array}
      \right)$的特征值为
      \[
      | \lambda E - A | = 0
      \]
      \[
      \lambda^2 - (a + d)\lambda + ad - cd = 0
      \] \pause
      写成下面的形式
      \[
      (\lambda - \alpha_1)^{k_1}(\lambda - \alpha_2)^{k_2} \cdots = 0
      \]\label{eq:dkjflj}
      分别解出$\lambda$.
  \end{block} \pause
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{求下面~\ref{eq:dkjflj}矩阵的特征值}
  \[
  A = \left(
      \begin{array}{cccccccc}
      64 &    2 &    3  &  61 &   60  &   6  &   7  &  57 \\
     9  &  55 &   54  &  12  &  13 &   51  &  50 &   16  \\
    17  &  47 &   46 &   20 &   21 &   43 &   42 &   24 \\
    40  &  26  &  27 &   37 &   36 &   30 &   31 &   33 \\
    32  &  34  &  35 &   29 &   28 &   38 &   39 &   25 \\
    41  &  23  &  22 &   44 &   45 &   19 &   18 &   48  \\
    49  &  15  &  14 &   52 &   53 &   11 &   10 &   56  \\
     8  &  58  &  59 &    5 &    4 &   62 &   63 &    1 \\
      \end{array}
      \right)
      \] \pause
      并不是所有的特征多项式的根都容易解出.
\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{特征值界的估计}
  \framesubtitle{Schur不等式}
  \begin{block}{Schur分解}
    设$A = (a_{ij}) \in C^{n \times n}$, 则存在酉矩阵U, 使得
    \[
    A = URU^H,
    \]
    其中, R是一个正线上三角矩阵且主对角线上的元素为A的特征值.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{特征值界的估计}
  \framesubtitle{Schur不等式}
  \begin{block}{$\|A\|_F$}
    \[\|A\|_F = \|A\|_{m_2}\]
    性质:
    \[\| A \|_{m_2}^2 = tr(A^HA)\]
  \end{block}
\end{frame}


\begin{frame}
  \frametitle{特征值界的估计}
  \framesubtitle{Schur不等式}
  \begin{block}{Schur不等式}
    设$A = (a_{ij}) \in C^{n \times n}$的特征值为$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$, 则
    \[
    \sum_{i = 1}^n | \lambda_i |^2 \leq \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n |a_{ij}|^2 = \| A \|_F^2,
    \]
    仅当A为正规矩阵时, 等号成立.
  \end{block}
\end{frame}


\section{圆盘定理}

\begin{frame}
  圆盘定理
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{盖尔圆}
  \begin{block}{定义}
    设$A = (a_{ij}) \in C^{n \times n}$, 称
    \[
    S_i = \{ z \in C : |z - a_{ii}| \leq R_i \}
    \]
    为矩阵A在复平面上的第i个Gershgorin disc(盖尔圆), 其中
    \[
    R_i = R_i(A) = \sum_{j \neq i} |a_{ij}| \quad (i = 1, 2, \cdots, n)
    \]
    称为$S_i$的半径.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{圆盘定理}
  \begin{block}{定理1}
    设$A = (a_{ij}) \in C^{n \times n}$, 则A的任一特征值
    \[
    \lambda_i \in S = \bigcup_{j = 1}^n S_j \quad ( i = 1, 2, \dots, n )
    \]
  \end{block} \pause
  \begin{block}{定理2}
    设n阶方阵A的n个盖尔圆中有k个的并形成一个连通区域, 且它与余下的n - k个圆都不相交, 则在这个区域中恰好有A的k个特征值.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{例子}
  \begin{block}{讨论下面矩阵的特征值分布情况}
    \[
    A = \left(
      \begin{array}{cc}
        1 & -0.8 \\
        0.5 & 0 \\
      \end{array}
      \right)
    \]
    A的两个盖尔圆为
    \[
    | z - 1 | \leq 0.8 \text{和} |z| \leq 0.5
    \] \pause
    构成一个连通区域. 可以求得A的两个特征值为$\lambda_{1,2} = \frac{1}{2}(1 \pm i \sqrt{(0.6)})$ \pause
    所以在连通区域内的特征值, 不一定都分布在不同的盖尔圆中.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{行对角占优}
  \begin{block}{定义}
    设$A = (a_{ij}) \in C^{n \times n}$, 若
    \[
    |a_{ii}| \geq R_i(A) \quad (i = 1,2,\dots,n)
    \]
    (即每个盖尔圆的圆心的模$\geq$盖尔圆半径), 则称A为行对角占优矩阵; \pause \\
    若$A^T$为行对角占优矩阵, 则称A为列对角占优矩阵. \\
    若A同时为行列对角占优矩阵, 则称为对角占优矩阵. \\
    若不等式是严格的, 则称为严格对角占优矩阵.
  \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{圆盘定理的应用}
  在证明随机矩阵以较大概率满足RIP条件中用到.
\end{frame}



\begin{frame}
  问题讨论
\end{frame}


\end{document}

